Teoría de conjuntos

La Teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia los conceptos de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.¹

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

"Conjuntos Numéricos"

Los conjuntos numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Sus características estructurales más importantes son:

Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable

Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo)

Admiten relación de orden

Admiten relación de equivalencia

Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).

Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.

Números Naturales

La necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por ${\mathbb {N}}$ y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos.

${\mathbb {N}}=\{1,2,3,4,...\}$

Números Enteros

La insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por ${\mathbb {Z}}$ y estan formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, ${\mathbb {N}}\subset {\mathbb {Z}}$ .

${\mathbb {Z}}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}$ .

Números Racionales

La insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por ${\mathbb {Q}}$ y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma ${\frac {p}{q}}$ donde ${p}$ y ${q}$ son enteros y $q\neq 0$ . Estos pueden ser enteros (en el caso en que $q=1$ ), decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, ${\mathbb {N}}\subset {\mathbb {Z}}\subset {\mathbb {Q}}$ .

${\mathbb {Q}}=\{x={\frac {p}{q}}:p,q\in {\mathbb {Z}},q\neq 0\}$

Números Irracionales

La insuficiencia de los racionales al intentar encontrar la medida exacta de la diagonal de un triángulo rectángulo con catetos de longitud 1 lleva a los números irracionales. Se denotan por ${\mathbb {I}}$ A veces se denota por ${\mathbb {I}}$ al conjunto de los números irracionales. Esta notación no es universal y muchos matemáticos la rechazan. Las razones son que el conjunto de números irracionales no constituyen ninguna estructura algebraica, como sí lo son los naturales ( ${\mathbb {N}}$ ), los enteros ( ${\mathbb {Z}}$ ), los racionales ( ${\mathbb {Q}}$ ), los reales ( ${\mathbb {R}}$ ) y los complejos ( ${\mathbb {C}}$ ), por un lado, y que la ${\mathbb {I}}$ es tan apropiada para designar al conjunto de números irracionales como al conjunto de números imaginarios